数学笔记 - Reeb定理

定理 0.1 (Reeb 定理). 令 $M$ 为 $n$ 维紧流形, 假设存在光滑实值函数 $f \in C^{\infty} (M)$ 使得 $f$ 恰好有两个临界点, 那么 $M$ 同胚于 $S^{n}$ .

注 0.2. 这里的同胚未必是微分同胚.

这个定理的证明用到 Morse 理论中的一个基本定理.

1正则区间形变定理
2完成证明

1正则区间形变定理

定理 1.1 (正则区间形变定理). 设 $M$ 是光滑流形, $f$ 是 $M$ 上的光滑实值函数, 对于任意 $a \in R$ , 考虑次水平集 $M^{a} = f^{- 1} ((- \infty, a)) .$ 对于 $a < b$ , 假设 $f^{- 1} ([a, b])$ 是紧集, 并且每个 $c \in [a, b]$ 是 $f$ 的正则值, 则存在微分同胚 $φ : M \to M$ 使得 $φ (M^{a}) = M^{b}$ .

如果把

f

看成

M

上的一个 “高度” 场, 那么这个定理就是在一定条件下把

M

的下面一半 “

M^{a}

” 拉上来一段. 怎么拉? 沿着梯度方向拉.

证明. 赋予 $M$ 任意的 Riemann 度量 $g$ , 可以定义 $f$ 的梯度向量场 $\nabla f$ . $g_{p} (\nabla f, X_{p}) = d f_{p} (X_{p}) = X_{p} (f), \forall X_{p} \in T_{p} M .$ 因为 $f$ 的临界点是闭集, 可以找到一个开集 $U$ 满足 $f^{- 1} ([a, b]) \subset U$ (比如说 $f$ 临界点集合的补) . 于是可以找到光滑鼓包函数 $h$ , 而且 $supp (h) \subset U, h ∣_{f^{- 1} ([a, b])} \equiv 1.$ 那么可以取 $M$ 上的光滑向量场 $X := \frac{h}{g ( \nabla f , \nabla f )} \nabla f .$ 因为 $[a, b]$ 整个是 $f$ 的正则点, $\nabla f$ 在 $f^{- 1} ([a, b])$ 上非零, 所以 $X$ 是良定的, 此外还是紧支的, 进而是完备的.

设

φ_{t}

是

X

生成的流, 考察

f

在

M

经过

φ_{t}

的移动之后的表现. 对于

f

关于

φ_{t}

的拉回

φ_{t}^{*} f

满足,

\frac{d}{d t} φ_{t}^{*} f (p) = \frac{d}{d t} f (φ_{t} (p)) = d f_{φ_{t} (p)} (X_{φ_{t} (p)}) = g_{p} (\nabla f, X_{φ_{t} (p)}) = h (φ_{t} (p)) .

因此

φ_{t} (p) \in f^{- 1} ([a, b])

时,

\frac{d}{d t} φ_{t}^{*} f (p) = 1

. 换句话说,

φ_{t}

关于

t

恒定地提升

f^{- 1} ([a, b])

中点的 “高度”

f

. 所以

φ_{b - a}

即为所求的微分同胚.

$□$

2完成证明

如果假定这样一个结论 (这个结论有非常初等的证明, 见 https://mathoverflow.net/q/117457) .

定理 2.1 (Brown). 如果 $M$ 是一个紧流形, $M = U_{1} \cup U_{2}$ , 且 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 都同胚于 $R^{m}$ , 则 $M$ 同胚于 $S^{m}$ .

借助这个结论可以很轻松地证明 Reeb 定理.

定理 0.1 的证明. 首先

f

的两个临界点必定是最大值和最小值. 取闭区间

[a, b]

使得

a

和

b

分别靠近极小值和极大值, 使得

f^{- 1} ((- \infty, a))

和

f^{- 1} ((b, + \infty))

都同胚于

R^{m}

. 取

b^{'}

在

b

与

max_{M} f

之间, 则

M = f^{- 1} ((- \infty, b^{'})) \cup f^{- 1} ((b, + \infty))

. 根据定理 1.1 和 2.1,

M

同胚于

S^{m}

$□$