数学笔记 - 弱Whitney嵌入定理

定理 0.1 (Whitney 嵌入/浸入定理).

1.	任意 $m$ 维光滑流形 $M$ 能被嵌入到 $R^{2 m + 1}$ 中.
2.	任意 $m$ 维光滑流形 $M$ 能被浸入到 $R^{2 m}$ 中.

注 0.2. 事实上, 我们有一个更强版本的 Whitney 定理.

定理 0.3 (更强的 Whitney 嵌入/浸入定理).

1.	任意 $m$ 维光滑流形 $M$ 能被嵌入到 $R^{2 m}$ 中.
2.	任意 $m$ 维光滑流形 $M$ 能被浸入到 $R^{2 m - 1}$ 中.

但是这里不会涉及这个的证明.

为了证明最终的定理 0.1, 可以先证明任意

m

维紧光滑流形可以被嵌入到

R^{2 m + 1}

中, 然后再证明完整的结论.

1 $M$ 是紧光滑流形的情况
2 $M$ 是非紧光滑流形的情况

1 $M$ 是紧光滑流形的情况

对紧流形的情况而言, 单射浸入就是嵌入, 因此可以先证明这样的结论.

命题 1.1. 紧光滑流形 $M$ 总是可以被单射浸入到维数足够高的 $R^{K}$ 中.

思路是利用紧性将

M

用坐标卡切成有限个小块, 每一小块由于坐标卡都天然可以浸入欧式空间. 只需要通过单位分解就可以建立全局的单射浸入.

证明. 因为 $M$ 是紧的, 可以被有限图册 ${(φ_{i}, U_{i}, V_{i})}_{i = 1}^{n}$ 覆盖. 设 ${ρ_{i}}$ 是开覆盖 ${U_{i}}$ 对应的光滑单位分解. 设 $M$ 的维数是 $m$ , 取 $K = (m + 1) n$ .

构造映射 $f : M \to R^{(m + 1) n}$ , $f (p) = (ρ_{1} (p) φ_{1} (p), \dots, ρ_{n} (p) φ_{n} (p), ρ_{1} (p), \dots, ρ_{n} (p)) ，$ 其中补充定义 $φ_{i}$ 在 $M ∖ U_{i}$ 上恒为 $0$ .

•

$f$ 单: 如果 $f (p_{1}) = f (p_{2})$ , 那么必有 $ρ_{i} (p_{1}) = ρ_{i} (p_{2}), \forall i$ . 存在非零的 $ρ_{i} (p_{1}) = ρ_{i} (p_{2})$ , 得出 $p_{1}, p_{2} \in U_{i}$ 且 $φ_{i} (p_{1}) = φ_{i} (p_{2})$ . 根据坐标卡的定义知 $p_{1} = p_{2}$ .

•

$f$ 是浸入: $f$ 显然光滑. 考虑微分映射 $d f_{p} = (d (ρ_{1})_{p} φ_{1} (p) + ρ_{1} (p) d (φ_{1})_{p}, \dots, d (ρ_{n})_{p} φ_{n} (p) + ρ_{n} (p) d (φ_{n})_{p}, d (ρ_{1})_{p}, \dots, d (ρ_{n})_{p})$ 是否是单射. 对于 $X_{p} \in ker (d f_{p}) \subset T_{p} M$ , 由后面的分量一定有 $d (ρ_{i})_{p} (X_{p}) = X_{p} (ρ_{i}) = 0, \forall i ，$ 进而由前面的分量 $ρ_{i} (p) d (φ_{i})_{p} (X_{p}) = 0, \forall i .$ 存在非零的 $ρ_{i} (p)$ , 推出 $X_{p} \in ker (d (φ_{i})_{p}) = {0}$ .

综上

d f_{p}

是单射浸入.

$□$

注 1.2. 实际上, 从证明的过程可以看出, 条件可以从紧性放宽到可以被有限坐标卡覆盖.

然后我们可以试图降低维数

K

命题 1.3. 如果光滑流形 $M$ 可以被单浸入到 $R^{K}$ 中, 而且 $K > 2 m + 1$ , 那么 $M$ 就可以被单浸入到 $R^{K - 1}$ 中.

证明的思路是将

R^{K}

的一个维度 “拍扁”, 并且保证

M

的嵌入在此过程后依然是嵌入. 实际操作上, 我们考虑所有方向上的 “拍扁” 映射, 并证明下面这个定理.

命题 1.4. 如果光滑流形 $M$ 可以被单浸入到 $R^{K}$ 中, 而且 $K > 2 m + 1$ , 那么几乎所有 “拍扁” 映射 $π_{v} : R^{K} \to span (v)^{⊥} ≅ R^{K - 1}$ $π_{v} (x) = x - \frac{⟨ x , v ⟩}{∥ v ∥ ^{2}} v ，$ 其中 $v \neq = 0$ , 都能让 $f_{v} := π_{v} \circ f$ 还是嵌入.

证明. 设 $f : M \to R^{K}$ 是嵌入, 我们需要研究要使得 $f_{v}$ 还是嵌入, 对 $v$ 有什么要求.

•

假设 $f_{v}$ 不是单射, 那么存在 $p_{1}, p_{2} \in M$ , 使得 $f_{v} (p_{1}) = f_{v} (p_{2})$ . 结合 $f$ 是嵌入可知 $f (p_{1}) - f (p_{2}) \in span (v)$ . 由于 $v$ 和 $k v, k \neq = 0$ 的效果是一样的, 可以不妨设 $v$ 的取值范围是 $RP^{K - 1}$ 中的点, 记为 $[v]$ . 所以, 让 $f_{v}$ 不是单射的 $[v]$ 是如下光滑映射的像集. $Ψ : M \times M ∖ Δ_{M} (p_{1}, p_{2}) \to RP^{K - 1} \mapsto [f (p_{1}) - f (p_{2})] ，$ 其中 $Δ_{M} = {(p, p)}$ 是对角线. 因为 $M \times M ∖ Δ_{M}$ 的维数是 $2 dim M = 2 m$ , 严格小于 $K - 1$ , 由 Sard 定理, $Im (Ψ)$ 是 $RP^{K - 1}$ 上的零测集. 这表明, 几乎所有 $[v] \in RP^{K - 1}$ 都能让 $f_{v}$ 还是嵌入.

•

假设 $d (f_{v})_{p}$ 在某点 $p \in M$ 处不是单射, 那么存在 $X_{p} \in T_{p} M$ , 使得 $d (f_{v})_{p} (X_{p}) = 0$ . 计算得 $d (f_{v})_{p} = d (π_{v} \circ f)_{p} = d (π_{v})_{f (p)} \circ d f_{p} = π_{v} \circ d f_{p} .$ 得到 $d f_{p} (X_{p}) = [v]$ . 这样的 $[v]$ 是如下光滑映射的像集. $Ψ : TM ∖ {0} (p, X_{p}) \to RP^{K - 1} \mapsto [d f_{p} (X_{p})] ，$ 其中等同了欧式空间及其切空间. 再次利用 Sard 定理, 计算维数发现几乎所有 $[v] \in RP^{K - 1}$ 都能让 $f_{v}$ 仍然是嵌入.

从而定理得证.

$□$

注 1.5. 注意到考虑 $X_{p}$ 的时候其实只需考虑 $span (X_{p})$ 即可, 所以如果不要求单射的话, 可以再降一个维度, 得到浸入的情况.

2 $M$ 是非紧光滑流形的情况

我们先证明在非紧光滑流形上也可以实现到同样维度欧式空间的单射浸入, 然后证明这种单射浸入可以变成逆紧的单射浸入.

命题 2.1. 非紧光滑流形 $M$ 总是可以被单射浸入到维数足够高的 $R^{K}$ 中.

证明思路是用

M

上的光滑穷竭函数切开

M

, 如果每一片足够规整, 可以将大量小片批量嵌入有限的维度内.

证明. 取 $M$ 上的光滑穷竭函数 $f$ . 设 $M_{i} = f^{- 1} ([i, i + 1])$ 为紧集. 取 $U_{1}, \dots, U_{n}$ 是 $M_{i}$ 的一组开覆盖, 那么设 $N_{i} = (U_{1} \cup \dots \cup U_{n}) \cap f^{- 1} ((i - 1/3, i + 4/3)) .$ 在这样的取法下, 可以找到一组覆盖 $N_{i}$ 的有限坐标卡, 因此根据注 1.2 和命题 1.3, 存在从 $N_{i}$ 到欧式空间的单浸入 $φ_{i} : N_{i} \to R^{2 m + 1}$ . 对每个 $i$ 取光滑鼓包函数 $ρ_{i}$ , 要求在 $M_{i}$ 上取值为 $1$ , 并且 $supp (ρ_{i}) \subset N_{i}$ . 于是我们取 $K = 4 m + 3$ , 定义映射 $Φ : M p \to R^{4 m + 3} \mapsto ⎝ ⎛ 2 ∣ i \sum ρ_{i} (p) φ_{i} (p), 2 ∤ i \sum ρ_{i} (p) φ_{i} (p), f (p) ⎠ ⎞ .$ 实际上, 根据 $N_{i}$ 的取法, 定义中每个求和号对于固定的 $p$ 只有一项非零, 所以实际上是有限求和, 无需考虑收敛性的问题.

•	$Φ$ 是单射: 如果 $Φ (p_{1}) = Φ (p_{2})$ , 就有 $f (p_{1}) = f (p_{2})$ , 表明 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 属于同一个 $M_{i}$ , 自然有 $φ_{i} (p_{1}) = φ_{i} (p_{2})$ , $p_{1} = p_{2}$ .
•	$Φ$ 是浸入: 不妨设 $p \in M_{i}, 2 ∣ i$ . 那么 $d Φ_{p} = (d φ_{p}, , ),$ $ker (d Φ_{p}) \subset ker (d φ) = {0}$ .

综上

Φ

即为所求的单射浸入.

$□$

在非紧光滑流形上, 单射浸入距离嵌入还差一个逆紧性, 现在就来补上这一点.

命题 2.2. 如果 $M$ 可以被单射浸入到欧式空间 $R^{K}, K > 2 m$ 中, 就可以被逆紧单射浸入到同样的欧式空间中.

证明的思路就是, 让原先单浸入的像映到一个有界闭集里, 再追加一个逆紧的分量, 这样的映射是到

K + 1

维的逆紧映射, 随意取一个到

K

维的投影大概也是逆紧的映射.

证明. 设 $Φ : M \to R^{K}$ 是单浸入, 不妨设 $∥Φ (p) ∥ \leq 1, \forall p \in M$ , 否则可以设微分同胚 $π : R^{K} x \to B_{1}^{K} (0), \mapsto \frac{x}{1 + ∥ x ∥ ^{2}},$ 并用 $π \circ Φ$ 替换 $Φ$ , 仍然满足要求. 于是我们可以认为 $∥Φ (p) ∥ \leq 1$ .

取一个 $M$ 上的光滑穷竭函数 $f$ , 设 $Ψ$ 是下面两个映射的复合 $M p ⟶ (Φ, f) ⟼ R^{K + 1} (Φ (p), f (p)) ⟶ π_{v} ⟼ R^{K}, π_{v} (Φ (p), f (p)),$ 其中 $v$ 是单位向量, 且 $π_{v} (x) = x - ⟨ x, v ⟩ v$ , 和命题 1.4 中的定义一样, 是到 $span (v)^{⊥}$ 的正交投影. 而且根据命题 1.4 的证明, 大部分 $v$ 可以让 $Ψ$ 仍然是一个单浸入. 除此之外我们还要求 $v \neq = (0, \dots, 0, 1)$ (不然加上 $f$ 分量就没有意义了) .

我们可以证明

Ψ

就是我们要找的逆紧单浸入. 对于

R^{K}

中的紧集

C

C

是有界闭集, 其中的点最后一个分量有界

A

, 即

\forall x = (x^{'}, x^{K + 1}) \in C, ∣ ∣ x^{K + 1} ∣ ∣ \leq A .

另一方面, 设

v = (v^{'}, v^{K + 1})

, 对于任意

p \in M

, 可以写出

Ψ (p) = π_{v} (Φ (p), f (p)) = (*, f (p) (1 - (v^{K + 1})^{2}) - ⟨ Φ (p), v^{'} ⟩ v^{K + 1}) .

于是可以做出估计, 任意

p \in Ψ^{- 1} (C)

∣ ∣ f (p) (1 - (v^{K + 1})^{2}) - ⟨ Φ (p), v^{'} ⟩ v^{K + 1} ∣ ∣ \leq A .

在之前的铺垫中, 我们要求

∥Φ (p) ∥ \leq 1, ∥ v ∥ = 1

, 进而任意

p \in Ψ^{- 1} (C)

, 有

∣ ∣ f (p) (1 - (v^{K + 1})^{2}) ∣ ∣ \leq A + ∣ ∣ ⟨ Φ (p), v^{'} ⟩ v^{K + 1} ∣ ∣ \leq A + 1, ∣ f (p) ∣ \leq \frac{A + 1}{∣ ∣ 1 - ( v ^{K + 1} ) ^{2} ∣ ∣},

得到

Ψ^{- 1} (C) \subset f^{- 1} ⎝ ⎛ - \frac{A + 1}{∣ ∣ 1 - ( v ^{K + 1} ) ^{2} ∣ ∣}, \frac{A + 1}{∣ ∣ 1 - ( v ^{K + 1} ) ^{2} ∣ ∣} ⎠ ⎞ .

根据

f

的取法, 后者是紧的, 再者

Ψ^{- 1} (C)

闭, 所以也是紧的. 这就说明了

Ψ

是逆紧的.

$□$

注 2.3. 以上所有命题就完成了开头定理 0.1 的证明. 从命题 1.4 的证明中可以看出, 这是一个非常宽松的结论, 而且一定可以有所改进. 至于改进的结论, 就之后再说吧.

1M 是紧光滑流形的情况

2M 是非紧光滑流形的情况

1 $M$ 是紧光滑流形的情况

2 $M$ 是非紧光滑流形的情况