本文将遵守 Einstein 求和约定.
测地线与 Jacobi 场
Riemann 流形 \(M\) 上的测地线 \(\gamma:(a,b)\to M\) 是满足如下方程的一条曲线：
\[
\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.
\]
其中 \(\nabla\) 表示 Levi-Civita 联络.
下面的命题说明, 在流形上的每一点处, 都存在向任意方向的测地线.
对流形 \(M^{n}\) 上任意一点 \(p \in M\), 以及此点处的任意一个方向 \(v \in
T_{p}M\), 都存在唯一的测地线 \(\gamma:(-\epsilon,b) \to M\) 使得
\[
\gamma(0) = p,\qquad\dot\gamma(0) = v.
\]
取 \(p\) 点处的一个坐标卡 \((U,\varphi)\), 使得 \(\varphi(p)=(0,\dots,0)\), 则 \(\left\{ \partial_{i}:=\frac{\partial}{\partial{x_{i}}} \right\}
\) 是 \(U\) 上各点切空间的一组（未必正交的）基. 设 \(v = v^{i}\partial_{i}\), \(\varphi(\gamma) =
(\gamma^{1},\dots,\gamma^{n})\). 那么有
\[
\dot\gamma = \dot\gamma^{i}\partial_{i}.
\]
进而方程 \(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0\) 可以化为
\[
0 = \nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma = \left(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma^{i}\right)\partial_{i} +
\dot\gamma^{i}\nabla_{\dot\gamma^{j}\partial_{j}}\partial_{i} = \ddot\gamma^{k}\partial_{k} +
\dot\gamma^{i}\dot\gamma^{j}\Gamma_{ji}^{k}\partial_{k}.
\]
因此指定起点方向的测地线就是如下方程组的解
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\ddot\gamma^{k} + \dot\gamma^{i}\dot\gamma^{j}\Gamma_{ji}^{k} = 0,\\
&\gamma^{k}(0) = 0,\\
&\dot\gamma^{k}(0) = v^{k},
\end{aligned}
\right.
\qquad k=1,2,\dots,n.
\]
这是一个二阶非线性常微分方程组的初值问题, 可以化为一阶方程组, 并由常微分方程解的存在唯一性定理, 知道测地线的存在唯一性.
注意到
\[
\dot\gamma\left|\dot\gamma\right|^2=\dot\gamma\left\langle\dot\gamma,\dot\gamma\right\rangle =
2\left\langle\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma,\dot\gamma\right\rangle=0,
\]
即 \(|\dot\gamma|\) 是常值, 因此以下不另外说明时测地线均满足 \(|\dot\gamma|\equiv 1\).
(指数映射)
在上一命题中若满足 \(\gamma(0)=p,\dot\gamma(0)=v\) 的测地线的最大存在区间包含 \(1\), 则定义
\[
\exp_{p}v = \gamma(1).
\]
那么 \(\exp_{p}:U\to M\) 是 \(T_{p}M\) 中原点的邻域 \(U\) 到 \(M\) 的映射.
把任意测地线的最大存在区间都是 \((-\infty,+\infty)\) 的流形称为完备流形, 下面假设讨论的都是完备流形.
微分几何中对Jacboi 场的研究来源于单参数测地线族的横截向量场. 考虑一个单参数测地线族 \(\gamma:(-\epsilon,\epsilon) \times (a,b) \to M\), 则其横截向量场记为 \[ J(t):=\left.\gamma_{*}\left( \frac{\partial}{\partial u} \right) \right|_{t=0}, \] 并且记 \(\gamma_{0}=\gamma(0,\cdot)\) 的切向量为 \(T\). 由于 \([J,T] = 0\), 可以发现 \[ \nabla_{T}\nabla_{T}J = \nabla_{T}(\nabla_{J}T + [T,J]) = -R(T,J)T + \nabla_{J}\nabla_{T}T + \nabla_{[T,J]}T = -R(T,J)T, \] 其中 \(R:T_{p}M \times T_{p}M \to L(T_{p}M,T_{p}M)\) 是曲率张量.
对于流形 \(M\) 上的一条测地线段 \(\gamma:[0,b] \to
M\), 沿此测地线的 Jacobi 场 \(J:[0,b]\to\Gamma^{\infty}(TM)\) 是满足如下 Jacobi 方程的向量场
\[
\ddot J + R(\dot\gamma,J)\dot\gamma = 0,
\]
其中 \(\ddot J\) 是 \(\nabla_{\dot\gamma}\nabla_{\dot\gamma}J\) 的简化记号.
与测地线类似, Jacobi 场也由初值条件唯一确定.
对于 \(M\) 上测地线 \(\gamma\), 存在唯一的 Jacobi 场使得
\[
J(0) = v,\qquad \dot J(0) = w.
\]
取 \(p\) 点处的正交测地标架
正交测地标架即满足在 \(p\) 点邻域内处处单位正交, 沿从 \(p\) 出发的测地线平行移动, 并且 \(\nabla_{e_{i}}e_{j}(p)=0\) 的一组向量场.\(\{e_{i}\}\). 设 \(J = J^{i}e_{i}\), \(c_{i}^{j}:=\langle
R(\dot\gamma,e_{i})\dot\gamma,e_{j}\rangle\). 那么 Jacobi 方程可以化为
\[
\ddot J^{j}e_{j}+ J^{i}c_{i}^{j}e_{j}= 0.
\]
那么方程组
\[ \left\{ \begin{aligned} &\ddot J^{j} + J^{i}c_{i}^{j} = 0,\\ &J^{i}(0) = v^{i},\\ &J^{i}(0) = w^{i}. \end{aligned} \right.
\qquad j=1,2,\dots,n.
\]
的解存在且唯一. 所以存在唯一的 Jacobi 场满足初值条件.
下面命题建立了 Jacobi 场与测地线族之间的紧密联系.
对 \(M\) 上的测地线 \(\gamma\), \(J\) 是沿 \(\gamma\) 的 Jacobi 场的充分必要条件是存在单参数测地线族 \(\gamma_{u}\), 使得 \(\gamma_{0}=\gamma\), 且 \(J=\left.\frac{\partial}{\partial u}\gamma_{u}\right|_{u=0}\).
充分性已经在前面论证过了. 现在证明必要性.
取 \(M\) 上的一条曲线 \(\lambda(u)\), 使得 \(\lambda(0)=\gamma(0)\), \(\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}(0)=J(0)\).
再取一个沿 \(\lambda\) 的向量场 \(W\), 满足 \(W(0)=\dot\gamma(0)\), \(\nabla_{\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}}W(0)=\dot
J(0)\). 那么测地线族 \(\gamma_{u}(t)=\exp_{\lambda(u)}(tW(u))\) 满足要求.
实际上, 我们有 \[ \begin{gathered} \gamma_{0}(0) = \gamma(0),\\ \dot\gamma_0(0) = W(0) = \dot\gamma(0),\\ \left.\frac{\partial}{\partial u}\gamma_{u}(0)\right|_{u=0} = \frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}(0) = J(0),\\ \nabla_{\dot\gamma}\left( \left.\frac{\partial}{\partial u}\gamma_{u}\right|_{u=0} \right) (0) = \nabla_{\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}}\left( \frac{\partial}{\partial t}\gamma_0 \right) = \nabla_{\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}}W(0) = \dot J(0). \end{gathered} \] 由命题1和命题2提供的存在唯一性, 知道 \(\gamma_{u}\) 的横截向量场恰好是 \(J\).
实际上, 我们有 \[ \begin{gathered} \gamma_{0}(0) = \gamma(0),\\ \dot\gamma_0(0) = W(0) = \dot\gamma(0),\\ \left.\frac{\partial}{\partial u}\gamma_{u}(0)\right|_{u=0} = \frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}(0) = J(0),\\ \nabla_{\dot\gamma}\left( \left.\frac{\partial}{\partial u}\gamma_{u}\right|_{u=0} \right) (0) = \nabla_{\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}}\left( \frac{\partial}{\partial t}\gamma_0 \right) = \nabla_{\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}u}}W(0) = \dot J(0). \end{gathered} \] 由命题1和命题2提供的存在唯一性, 知道 \(\gamma_{u}\) 的横截向量场恰好是 \(J\).
Jacobi 方程的解组与共轭点
根据 Riemann 度量, 可以将任一 Jacobi 场 \(J\) 关于测地线方向正交分解为 \(J=J^{\perp}+a\dot\gamma\). 那么 Jacobi 方程可以相应写成 \[ \left\{ \begin{aligned} &J^{\perp}+R(\dot\gamma,J^{\perp})\dot\gamma=0,\\ &\ddot a\dot\gamma = -R(\dot\gamma,a\dot\gamma)\dot\gamma = 0. \end{aligned} \right. \] 得 \(a(t) = a(0) + \dot a(0)t\), 即 \(J\) 平行测地线的分量总是线性的. 我们于是只关心正交 Jacobi 场.
在 \(p=\gamma(0)\) 点处, \(\dot\gamma\) 在切空间 \(T_{p}M\) 中有 \(n-1\) 维的正交补, 结合命题2知正交 Jacobi 场构成 \(2(n-1)\) 维的线性空间.
根据第1节的论述, Jacobi 场反映了测地线在局部的疏密程度. 于是考虑共轭点.
设 \(\gamma:[0,b]\to M\) 是测地线. 如果 Jacobi 方程的边值问题 \(J(0)=0,
J(b)=0\) 有非零解, 则称 \(\gamma(b)\) 是 \(\gamma(0)\) 的共轭点.
这些解构成线性空间, 其维数称为共轭点的重数.
如果没有共轭点, 即边值问题只有零解, 那么由常微分方程的理论, 对任意 \(v_0,v_{b}\),
边值问题 \(J(0)=v_0,J(b)=v_{b}\) 都存在唯一解.
第二变分公式与Morse指标
研究测地线 \(\gamma:[0,b]\to M\) 的长度 \[ L(\gamma) = \int_{0}^{b}\left|\dot\gamma\right|\,\mathrm{d} t. \] 为了研究测地线长度的极小性, 考虑长度泛函 \(L\) 沿单参数曲线族 \(\gamma_{u}:[0,b]\to M,u\in(-\epsilon,\epsilon)\) 的变分. 记 \(T = \dot\gamma_{0}\), \(U=\left.\frac{\partial \gamma_{u}}{\partial u}\right|_{u=0}\). 注意到由 Levi-Civita 联络的性质, \[ \langle\nabla_{U}T,T\rangle = \langle\nabla_{T}U+[U,T],T\rangle = \langle\nabla_{T}U,T\rangle. \] 于是有第一变分公式 \begin{align*} L'(0) &= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\right|_{u=0}\int_0^{b}\left|\dot\gamma_{u}\right|\,\mathrm{d} t = \int_0^{b}\frac{1}{\left|T\right|}\left\langle\nabla_{U}T,T\right\rangle\,\mathrm{d} t =\frac{1}{|T|}\int_{0}^{b}\langle\nabla_{T}U,T\rangle\,\mathrm{d} t\\ &=\frac{1}{|T|}\int_{0}^{b}(T\langle U,T\rangle-\langle U,\nabla_{T}T\rangle)\,\mathrm{d} t=\frac{1}{|T|}\left.{\langle U,T\rangle}\right|_{0}^{b}-\frac{1}{|T|}\int_{0}^{b}\langle U,\nabla_{T}T\rangle\,\mathrm{d} t. \end{align*} 以及第二变分公式 \begin{align*} L''(0) =&\int_0^{b}U\left( \frac{1}{|T|}\langle\nabla_{U}T,T\rangle \right) \,\mathrm{d} t = \int_0^{b}\left(\frac{1}{|T|^3}\langle\nabla_{U}T,T\rangle^2+\frac{1}{|T|}U\langle\nabla_{U}T,T\rangle\right)\,\mathrm{d} t\\ =&\int_0^{b}\left( \frac{1}{|T|^3}\langle\nabla_{T}U,T\rangle^2 + \frac{1}{|T|}(\langle\nabla_{U}\nabla_{T}U,T\rangle + \langle\nabla_{T}U,\nabla_{T}U\rangle ) \right) \,\mathrm{d} t\\ =&\int_0^{b}\left( \frac{1}{|T|^3}\langle\nabla_{T}U,T\rangle^2 - \frac{1}{|T|}(\langle R(U,T)U,T\rangle - \langle\nabla_{T}\nabla_{U}U,T\rangle - |\nabla_{T}U|^2)\right) \,\mathrm{d} t\\ =&\frac{1}{|T|^3}\int_0^{b}(T\langle U,T\rangle - \langle U,\nabla_{T}T\rangle)^2\,\mathrm{d} t\\ &+\frac{1}{|T|}\int_0^{b}(-\langle R(T,U)T,U\rangle + T\langle\nabla_{U}U,T\rangle - \langle\nabla_{U}U,\nabla_{T}T\rangle + |\nabla_{T}U|^2)\,\mathrm{d} t. \end{align*} 取 \(\gamma_0\) 为测地线, 代入两式, 就得到 \begin{gather*} L'(0) = \left.{\langle U,T\rangle}\right|{b}_{0},\\ \begin{aligned} L''(0) &= \left.{\langle\nabla_{U}U,T\rangle}\right|_{0}^{b} + \int_0^{b}\left(\left|\dot U\right|^2 - \langle R(T,U)T,U\rangle - (T\langle U,T \rangle)^2\right)\,\mathrm{d} t\\ &= \left.{\langle\nabla_{U}U,T\rangle}\right|_{0}^{b} + \int_0^{b}\left(\left|{\dot U}^{\perp}\right|^2 - \left\langle R(T,U^{\perp})T,U^{\perp}\right\rangle\right)\,\mathrm{d} t. \end{aligned} \end{gather*} 特别地, 如果是固定端点的变分, 即有 \(U(0)=U(b)=0\), 那么 \(L'(0)=0\), 而且 \(L''(0)\) 的表达式中 \(\left.{\langle\nabla_{U}U,T\rangle}\right|_{0}^{b}\) 项取值为 \(0\).(测地线的第二变分公式)
设 \(\gamma:[0,b]\to M\) 是测地线, \(\gamma_{u}:[0,b]\to
M,u\in(-\epsilon,\epsilon)\) 是 \(\gamma\) 固定端点的变分, \(L(u)\) 是 \(\gamma_{u}\) 的弧长, 则有
\[
L''(0)=\int_0^{b}\left(\left|{\dot
U}^{\perp}\right|^2 - \left\langle
R(T,U^{\perp})T,U^{\perp}\right\rangle\right)\,\mathrm{d} t.
\]
考虑沿 \(\gamma\) 分段光滑的正交向量场构成的线性空间 \(\mathfrak{V}\),
其中两端点为 \(0\) 的元素构成子空间 \(\mathfrak{V}_{0}\).
在 \(\mathfrak{V}\) 上, 可以定义双线性对称二次型
\[
I^{b}(V,W)=\int_0^{b}\left( \left\langle\dot V,\dot W\right\rangle - \left\langle
R(\dot\gamma,V)\dot\gamma,W\right\rangle \right) \,\mathrm{d} t,
\]
称为Morse指标形式.
如果 \(\gamma(0)\) 沿测地线 \(\gamma:[0,b]\to M\) 没有共轭点, 那么指标形式在 \(\mathfrak{V}\) 上正定.
取 \(T_{\gamma(b)}M\) 上的单位正交基 \(\{\dot\gamma(b),e_{i}\},i=2,3,\dots n\).
由于 \(\gamma(0)\) 没有共轭点, 结合共轭点的定义知, 对每个 \(i\), 存在唯一 Jacobi 场使得 \(J_{i}(0)=0\),
\(J_{i}(b)=e_{i}\). \(\{\dot\gamma(t),J_{i}(t)\}\) 构成 \(T_{\gamma(t)}M\) 上（未必正交）的基.
对 \(U \in \mathfrak{V}\), 设 \(U=f^{i}J_{i}\). 那么 \begin{align*} I^{b}(U,U)=\int_0^{b}&\left( f^{i}f^{j}\left\langle\dot J_{i},\dot J_{j}\right\rangle+f^{i}{\dot f}^{j}\left\langle\dot J_{i},J_{j}\right\rangle\right.\\ &\left.+{\dot f}^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle + {\dot f}^{i}{\dot f}^{j}\langle J_{i},J_{j}\rangle-f^{i}f^{j}\langle R(\dot\gamma,J_{i})\dot \gamma,J_{j}\rangle\right) \,\mathrm{d} t. \end{align*} 其中, 由于 \[ f^{i}f^{j}\langle\dot J_{i},\dot J_{j}\rangle = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j} \right\rangle) - \dot f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle - f^{i}\dot f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle - f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\ddot J_{j}\right\rangle, \] 结合 Jacobi 方程, 知 \[ I^{b}(U,U) = \left.{f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle}\right|_{0}^{b}+\int_0^{b}\dot f^{i}\dot f^{j}\langle J_{i},J_{j}\rangle \,\mathrm{d} t \ge 0. \] 而等号要取到的充分必要条件是 \(U=0\), 所以 \(I^{b}\) 是正定的.
由于当 \(U\) 是关于 \(\gamma\) 的变分向量场时, 指标形式 \(I^{b}(U,U)\) 就是二阶变分 \(L''(0)\),
因此这表明测地线没有共轭点时是最短测地线.
对 \(U \in \mathfrak{V}\), 设 \(U=f^{i}J_{i}\). 那么 \begin{align*} I^{b}(U,U)=\int_0^{b}&\left( f^{i}f^{j}\left\langle\dot J_{i},\dot J_{j}\right\rangle+f^{i}{\dot f}^{j}\left\langle\dot J_{i},J_{j}\right\rangle\right.\\ &\left.+{\dot f}^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle + {\dot f}^{i}{\dot f}^{j}\langle J_{i},J_{j}\rangle-f^{i}f^{j}\langle R(\dot\gamma,J_{i})\dot \gamma,J_{j}\rangle\right) \,\mathrm{d} t. \end{align*} 其中, 由于 \[ f^{i}f^{j}\langle\dot J_{i},\dot J_{j}\rangle = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j} \right\rangle) - \dot f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle - f^{i}\dot f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle - f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\ddot J_{j}\right\rangle, \] 结合 Jacobi 方程, 知 \[ I^{b}(U,U) = \left.{f^{i}f^{j}\left\langle J_{i},\dot J_{j}\right\rangle}\right|_{0}^{b}+\int_0^{b}\dot f^{i}\dot f^{j}\langle J_{i},J_{j}\rangle \,\mathrm{d} t \ge 0. \] 而等号要取到的充分必要条件是 \(U=0\), 所以 \(I^{b}\) 是正定的.
设 \(\gamma:[0,b]\to M\) 是以弧长为参数的测地线, \(\gamma(0)\) 沿 \(\gamma\) 无共轭点. 如果 \(V,W \in
\mathfrak{V}\), \(V(0)=W(0)\), \(V(b)=W(b)\), \(V\) 是 Jacobi 场. 那么, \(I(V,V) \le I(W,W)\),
并且等号成立的充分必要条件是 \(V \equiv W\).
由于 \(I\) 在 \(\mathfrak{V}\) 上正定, 我们有
\[
0 \le I(V-W, V-W) = I(V,V) - 2I(V,W) + I(W,W).
\]
另外, 根据分部积分
\[
I^{b}(V,W) = \left.{\left\langle\dot V,W\right\rangle}\right|_{0}^{b}-\int_0^{b}\left\langle\ddot
V+R(\dot\gamma,V)\dot\gamma,W\right\rangle\,\mathrm{d} t=\left.{\left\langle\dot
V,W\right\rangle}\right|_{0}^{b}=I^{b}(V,V),
\]
所以得到
\[
0 \le - I(V,V) + I(W,W).
\]
为了研究二次型 \(I^{b}\) 与 \(\gamma\) 上共轭点的进一步关系, 考虑 \(I\) 的零化空间.
设 \(\gamma:[0,b]\to M\) 是测地线. 则对 \(U\in\mathfrak{V}\),
满足 \(I(U,\mathfrak{V}_{0})=0\) 的充分必要条件是 \(U\) 为 Jacobi 场.
充分性. 如果 \(U\) 是 Jacobi 场, \(U\) 在整个区间 \([0,b]\) 上光滑, 于是对 \(V\in\mathfrak{V}_{0}\)
\[
\begin{aligned}
I(U,V)&=\int_0^{b}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\langle\dot U,V\right\rangle-\left\langle\ddot U,V\right\rangle-\langle
R(\dot\gamma,U)\dot\gamma,V\rangle\right)\,\mathrm{d} t\\
&=\left.{\left\langle\dot
U,V\right\rangle}\right|_{0}^{b}-\int_0^{b}\left\langle\ddot
U+R(\dot\gamma,U)\dot\gamma,V\right\rangle\,\mathrm{d} t\\
&=0.
\end{aligned}
\]
必要性. 如果 \(I(U,\mathfrak{V}_{0})=0\),
设 \(U\) 分别在区间 \([0=a_0,a_1],[a_1,a_2],\dots,[a_{k-1},a_{k}=b]\) 上光滑, 则
\[
I(U,V)=\sum_{i=1}^{k}\left( \left.{\left\langle\dot U,V\right\rangle}\right|_{a_{i-1}}^{a_{i}} -
\int_{a_{i-1}}^{a_{i}}\left\langle\ddot U+R(\dot\gamma,U)\dot\gamma,V\right\rangle\,\mathrm{d} t\right).
\]
取 \(f\in C^{\infty}[0,b]\) 使得对 \(i=0,1,\dots,k+1\) 有 \(f(a_{i})=0\), \(V=f\left( \ddot
U+R(\dot\gamma,U)\dot\gamma \right)\in\mathfrak{V}_{0}\), 则
\[
0=I(U,V)=-\sum_{i=1}^{k}\int_{a_{i-1}}^{a_{i}}f\left|\ddot U+R(\dot\gamma,U)\dot\gamma\right|^2\,\mathrm{d} t.
\]
这表明 \(\ddot U+R(\dot\gamma,U)\dot\gamma=0\) 在各区间 \([a_{i-1},a_{i}]\) 上成立.
为了证明这个分段 Jacobi 场实际上是整个区间上的完整 Jacobi 场, 取 \(V_{j}\in\mathfrak{V}_{0}\) 使得
\[
V_{j}(a_{i})=
\begin{cases}
0,&i\ne j,\\
\dot U(a_{j}+0)-\dot U(a_{j}-0),&i=j.
\end{cases}
\]
此时指标形式
\[
0=I(U,V_{j})=\sum_{i=1}^{k}\left.{\left\langle\dot
U,V_{j}\right\rangle}\right|_{a_{i-1}}^{a_{i}}=-\left|\dot U(a_{j}+0)-\dot U(a_{j}-0)\right|^2,
\]
即 \(\dot U\) 在整个区间上连续. 由常微分方程解的存在唯一性, \(U\) 是整个区间上的 Jacobi 场.
\(I^{b}\) 的零化数 \(\nu(b)\) 定义为 \(I^{b}\) 零化空间的维数, 即
\[
\nu(b):=\dim\left\{ U\in\mathfrak{V}_{0}\mid\forall V\in\mathfrak{V}_{0},I(U,V)=0 \right\}.
\]
虽然 \(\mathfrak{V}_{0}\) 是无限维的向量空间, 但是根据命题7,
\(\nu(b)\) 就是 \(\gamma(b)\) 作为共轭点的重数（不是共轭点则取值为 \(0\) ）, 进而是有限值.
Morse指标定理
根据命题5, \(I^{b}\) 的零化数 \(\nu(b)\) 直接影响了测地线 \(\gamma\) 是否局部极小. 实际上还可以证明, 如果 \(\gamma(b)\) 恰好是 \(\gamma(0)\) 的共轭点, 那么 \(I^{b}\) 半正定. 而一旦越过共轭点, 测地线就不再具有极小性. 我们用 \(I^{b}\) 的负定空间刻画这件事.
\(\gamma:[0,b]\to M\) 和 \(I^{b}\) 的指数 \(i(b)\) 定义为 \(\mathfrak{V}_{0}\) 中使得 \(I\) 负定的极大子空间的维数.
Morse指标定理刻画了共轭点如何导致测地线不再具有极小性.
(Morse指标定理)
\[
i(b) = \sum_{0 < t < b}^{}\nu(t) < +\infty.
\]
下面分两步证明这个定理.
\[
i(b) < +\infty.
\]
取 \([0,b]\) 的一个分割 \(0=t_0 < t_1 < \cdots < t_{k}=b\) 使得 \(\left.{\gamma}\right|_{[t_{i-1},t_{i}]}\) 无共轭点.
将 \(\mathfrak{V}_{0}\) 直和分解
\[
\mathfrak{V}_{0} = T_1\oplus T_2,
\]
其中
\begin{gather*}
T_1=\{U\in\mathfrak{V}_{0}\mid
U\text{在每段}\gamma|_{[t_{i-1},t_{i}]}\text{上是 Jacobi 场}\},\\
T_2=\{U\in\mathcal{V}_{0}\mid U(t_{i})=0,i=1,\dots,k-1\}.
\end{gather*}
因为 \(\gamma\) 在每段上无共轭点, \(T_1\) 中的 \(U\) 作为 Jacobi 场由分段点上的取值唯一决定, 因此是直和分解.
可以发现, 因为 Jacobi 场在无共轭点的情况下, 由两端取值唯一确定, \(T_1\cong T_{\gamma(t_1)}M\oplus\cdots\oplus T_{\gamma(t_{n-1})}M\) 是有限维;
由于 \(T_1\oplus T_2\) 还是正交直和分解, 即 \(I^{b}(T_1,T_2)=0\) ; 同时,
由命题5, \(I^{b}\) 在 \(T_2\) 上正定.
可见, 这样分解的好处是, 将 \(I^{b}\) 的非正定空间限制在有限维子空间 \(T_1\) 上, 便于我们研究 \(i(b)\) 和 \(\nu(b)\). 一个直接的推论就是 \(i(b)<+\infty\).
可见, 这样分解的好处是, 将 \(I^{b}\) 的非正定空间限制在有限维子空间 \(T_1\) 上, 便于我们研究 \(i(b)\) 和 \(\nu(b)\). 一个直接的推论就是 \(i(b)<+\infty\).
对于 \(\tau\in(0,b)\), 存在 \(\delta>0\) 使得, 任意 \(0\le\epsilon\le\delta\), 都有
- \(i(\tau-\epsilon)=i(\tau)\);
- \(i(\tau + \epsilon) = i(\tau) + \nu(\tau)\)
根据命题8的证明过程, \(T_2^{\tau}\) 不影响 \(i(t)\) 和 \(\nu(t)\),
故不妨设 \(I^{\tau}\) 是限制在 \(T_1^{\tau}\cong T_{\gamma(t_1)}M\oplus\cdots\oplus
T_{\gamma(t_{k-1})}M\) 上的二次型. 不妨可以假定 \(\tau\in[t_{k-1},t_{k}]\) 在最后一个分段.
考虑 \(U^{\tau},V^{\tau}\in T_1^{\tau}\), 则由命题7中的计算
\[
I^{\tau}\left(U^{\tau},V^{\tau}\right)=\sum_{i=1}^{k-1}\left.{\left\langle\dot
U^{\tau},V^{\tau}\right\rangle}\right|_{t_{i-1}}^{t_{i}}-\left\langle\dot
U^{\tau}(t_{n-1}),V^{\tau}(t_{n-1})\right\rangle,
\]
知 \(I^{\tau}\) 在 \(U,V\) 分段初值条件相同时, 关于 \(\tau\) 连续变化.
设 \(\pi(\tau)\) 为 \(I^{\tau}\) 的最大正定空间维数, 那么有 \[ i+\nu+\pi=\dim(T_{\gamma(t_1)}M\oplus\cdots\oplus T_{\gamma(t_{k-1})}M)=n(k-1). \] 由 \(I^{\tau}\) 关于 \(\tau\) 的连续性, 正定和负定空间维数在小邻域内不减, 即存在 \(\delta>0\) 使得 \[ i(\tau + \epsilon) \ge i(\tau),\quad \pi(\tau + \epsilon) \ge \pi(\tau),\quad\forall\epsilon\in(-\delta,\delta). \] 于是有 \begin{align*} i(\tau) &\le i(\tau+\epsilon) = n(k-1) - \nu(\tau+\epsilon) - \pi(\tau+\epsilon)\\ &\le n(k-1) - \nu(\tau+\epsilon) - \pi(\tau) = i(\tau) + \nu(\tau) - \nu(\tau+\epsilon)\\ &\le i(\tau) + \nu(\tau),\quad \epsilon\in(-\delta,\delta). \end{align*} 下面证明这些不等号实际可以取到等号.
对于 \(t_{n-1}<\xi<\tau< t_{n}\), \(T_1^{\xi}\) 和 \(T_1^{\tau}\) 根据初值条件可建立同构, 取 \(X^{\xi}\in T_1^{\xi}\) 和 \(X^{\tau}\in T_1^{\tau}\) 初值条件相同, \(X^{\xi}\) 可以通过规定 \(\left.\tilde{X}\right|_{[\xi,\tau]}\equiv 0\) 延拓成 \(\mathfrak{V}_{0}^{\tau}\) 的元素. 进而由命题6可知 \[ I^{\xi}\left(X^{\xi},X^{\xi}\right)=I^{\tau}\left( \tilde{X},\tilde{X}\right) \le I^{\tau}(X^{\tau},X^{\tau}), \] 其中等号成立当且仅当 \(X^{\xi}(t_{n-1})=0\). 因此 \(I^{\xi}\) 的负定空间一定属于 \(I^{\tau}\) 的负定空间, 而对于 \(I^{\xi}\) 的零化空间中的元素 \(X\), 由命题7, \(X\) 是整条测地线 \(\gamma\mid_{[0,\xi]}\) 上的 Jacobi 场, \(X^{\xi}(t_{n-1})\ne 0\), 等号不能成立, 即 \(I^{\xi}\) 的零化空间也属于 \(I^{\tau}\) 的负定空间. 于是 \[ i(\tau) \ge i(\xi) + \nu(\xi). \] 与之前的不等式比较, 就得到 \[ i(\tau) = i(\tau - \epsilon),\quad i(\tau+\epsilon)=i(\tau)+\nu(\tau),\quad\forall\epsilon\in(0,\delta). \]
设 \(\pi(\tau)\) 为 \(I^{\tau}\) 的最大正定空间维数, 那么有 \[ i+\nu+\pi=\dim(T_{\gamma(t_1)}M\oplus\cdots\oplus T_{\gamma(t_{k-1})}M)=n(k-1). \] 由 \(I^{\tau}\) 关于 \(\tau\) 的连续性, 正定和负定空间维数在小邻域内不减, 即存在 \(\delta>0\) 使得 \[ i(\tau + \epsilon) \ge i(\tau),\quad \pi(\tau + \epsilon) \ge \pi(\tau),\quad\forall\epsilon\in(-\delta,\delta). \] 于是有 \begin{align*} i(\tau) &\le i(\tau+\epsilon) = n(k-1) - \nu(\tau+\epsilon) - \pi(\tau+\epsilon)\\ &\le n(k-1) - \nu(\tau+\epsilon) - \pi(\tau) = i(\tau) + \nu(\tau) - \nu(\tau+\epsilon)\\ &\le i(\tau) + \nu(\tau),\quad \epsilon\in(-\delta,\delta). \end{align*} 下面证明这些不等号实际可以取到等号.
对于 \(t_{n-1}<\xi<\tau< t_{n}\), \(T_1^{\xi}\) 和 \(T_1^{\tau}\) 根据初值条件可建立同构, 取 \(X^{\xi}\in T_1^{\xi}\) 和 \(X^{\tau}\in T_1^{\tau}\) 初值条件相同, \(X^{\xi}\) 可以通过规定 \(\left.\tilde{X}\right|_{[\xi,\tau]}\equiv 0\) 延拓成 \(\mathfrak{V}_{0}^{\tau}\) 的元素. 进而由命题6可知 \[ I^{\xi}\left(X^{\xi},X^{\xi}\right)=I^{\tau}\left( \tilde{X},\tilde{X}\right) \le I^{\tau}(X^{\tau},X^{\tau}), \] 其中等号成立当且仅当 \(X^{\xi}(t_{n-1})=0\). 因此 \(I^{\xi}\) 的负定空间一定属于 \(I^{\tau}\) 的负定空间, 而对于 \(I^{\xi}\) 的零化空间中的元素 \(X\), 由命题7, \(X\) 是整条测地线 \(\gamma\mid_{[0,\xi]}\) 上的 Jacobi 场, \(X^{\xi}(t_{n-1})\ne 0\), 等号不能成立, 即 \(I^{\xi}\) 的零化空间也属于 \(I^{\tau}\) 的负定空间. 于是 \[ i(\tau) \ge i(\xi) + \nu(\xi). \] 与之前的不等式比较, 就得到 \[ i(\tau) = i(\tau - \epsilon),\quad i(\tau+\epsilon)=i(\tau)+\nu(\tau),\quad\forall\epsilon\in(0,\delta). \]
(Morse指标定理的证明)
定理是命题8和命题9的直接推论.