动机
起初的动机是交换代数中的一系列定理, 都表述为“具有某种性质的理想中的极大者是素理想”. 最经典的应当是 Kapłański 在他的书 Commutative Rings 里提到的定理.
设 \(S\) 是环
这里的环都指含幺交换环. \(R\) 里的乘性子集
乘性子集是环上
对乘法封闭的一个子集, 包含幺元. , 那么不包含在 \(S\) 里的理想中的极大者是素理想.
这个关于有限生成的例子也经常出现.
(岡ー永田)
非有限生成的理想中的极大者是素理想.
在证明这些定理的过程中, 很容易注意到他们的证明相似, 但是又不能互相套用. 为了用统一的方式
证明这些定理, 林节玄和 Manuel L. Reyes 在 A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra (Journal of Algebra)中总结出“岡族”的概念.
岡族
岡族得名于日本数学家岡潔.
环 \(R\) 中的一族理想 \(\cal F\), 如果满足
我们发现, 岡族就是可以统一上面提及定理的概念.
- \(R\in\cal F\)
- 任意元素 \(a\in R\) 和理想 \(I\subseteq R\), 如果 \(I+(a),(I:a)\in\cal F\), 则必定有 \(I\in\cal F\),
(素理想原理)
如果 \(\mathcal{F}\subset 2^{R}\) 是岡族, 记 \(\mathcal{F}'=2^R\setminus\mathcal{F}\),
则 \(\mathcal{F}'\) 中的极大元是素理想.
假设 \(I\) 是 \(\mathcal{F}'\) 的极大元, 但不是素理想. 取 \(a,b\in R\) 使得 \(a,b\notin I\),
但是 \(ab\in I\) . 由于 \(I+(a)\) 和 \((I:a)\) 分别包含 \(a\) 和 \(b\), 而 \(I\) 两者都不包含且是
\(\cal F'\) 的极大元, 所以 \(I+(a),(I:a)\in\cal F\) . 可是岡族的性质表明 \(I\) 是素理想.
设 \(S\) 是环 \(R\) 里的乘性子集, 则与 \(S\) 交非空的理想构成岡族.
把这族理想记为 \(\cal F\) . 显然 \(R\in\cal F\) . 取 \(a\in R\) 和理想 \(I\subseteq R\),
使得 \(I+(a),(I:a)\in\cal F\) . 设 \(x\in I+(a)\cap S,y\in (I:a)\cap S\), 其中 \(x\)
可以写成 \(x=i+ka\) 的形式. 因为 \(S\) 是乘性子集, \(xy=iy+kay\in S\), 而 \(iy\in I,ay\in I\),
故 \(xy\in I\cap S\), \(I\in\cal F\) .
环 \(R\) 中的有限生成理想构成岡族.
把所有有限生成理想记为 \(\cal F\) . 显然 \(R=(1)\in\cal F\) . 取 \(a\in R\) 和理想 \(I\subseteq R\),
使得 \(I+(a)\) 和 \((I:a)\) 都是有限生成. 设 \(I+(a)\) 的一组生成元是 \(x_1,x_2,\dots,x_n\),
\((I:a)\) 的一组生成元是 \(y_1,y_2,\dots,y_m\) . 如果把每个 \(x_i\) 写成 \(x_i=x_i'+k_ia\),
其中 \(x_i'\in I,k_i\in R\), 则
\[
x_1',x_2',\dots,x_n';ay_1,ay_2,\dots,ay_m
\]
是 \(I\) 的一组生成元. 这是因为任意 \(i\in I\subseteq I+(a)\) 可以写成
\[
i=\sum_{j=1}^{n}c_jx_j=\sum_{j=1}^nc_j(x_j'+k_ja)=\sum_{j=1}^n c_jx_j'
+\left(\sum_{j=1}^n c_jk_j\right)a,
\]
其中因为 \(i,\sum_{j=1}^nc_jx_j'\in I\), 所以 \(\sum_{j=1}^nc_jk_j\in(I:a)\), 因此上式的第二项
\[
\left(\sum_{j=1}^n c_jk_j\right)a
\]
可以被 \(ay_1,ay_2,\dots,ay_m\) 生成.
这样证明素理想就转换成了寻找岡族的信息.